非线性薛定谔方程 (薛定谔方程的推导过程)

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非线性薛定谔方程 (薛定谔方程的推导过程)2021年11月2日发(作者:2d)

维普资讯 http: 文章编号:0253—2328(2002)01—0047—03 量子力学非线性薛定谔方程的迹公式 海国延 (宁夏太学物理与电气信息工程系,宁夏银川750021) 摘要:在量子力学逆散射方法的框架里.时非线性薛定谔方程得到了运动的局域积分,并求得了非线性薛定坪方 程的迹公式 关键词:逆散射方法;非巍性薛定谔方程;迹公式 分类号:(中图)0413.1 文献标识码:A 近年来量子力学散射的逆问题研究受到了更多 的关注,尤其是在波和粒子的散射问题中,由散射情 况来确定粒子在散射过程中所受的作用势,以及在 因此,c.,c:,c,直接与粒子数 ,动量P及哈密顿 量 联系起来.在经典的逆散射方法的框架里,获 得(1)和(2)式(迹公式)已知有两种方法,经常使用 的是Riccati方程 ~ ,第二种方法是基于一个规范 变换,把势对角化 J. 在文献[4—5]中,非线性薛定谔模型是通过量子 力学逆散射方法得到的量子力学非线性薛定谔模型 是由(2)式定义的哈密顿量 的量子场模型,式中的 ’和 是满足对易关系[ ( ), (Y)]: ( —Y) 的算符,一L< ,Y<L用量子场论完全可积模型可比 较方便地研究一个无限小间隔△(△—叼)的晶格,因此, 在问隔[一 , :里引入一个格子,并由一系列点‰将 其分为Ⅳ=2L/A份,则平均场z ,z为 建立夸克.反夸克势的模型中,也采用了量子力学逆 问题的方法.在量子力学逆散射方法中,迹密度起到 了与经典方法一样重要的作用,但至今在量子力学 中迹密度公式还没有被推导出来.本文用逆散射方 法研究量子力学非线性薛定谔方程的迹公式,得到 了非线性薛定谔模型的量子迹密度,并把两种经典 方法推广到量子力学的情形.在推导中,我们仅仅用 了基于规范变换的方法,因为它很容易被推广到其 他的模型中. 1基本方程 经典的非线性薛定谔方程 i f r :=l‘ l = ( )dx, (x)dx, :一 口 +2 l 对应于非相对论场论的模型(非线性薛定谔模型). 这种模型有无穷多个守恒定律,其生成函数可取为 l , :一=d., . 对于格子的一个间隔,其无限小单值矩阵 辅助光谱问题的透射系数a( ) ,运动的局域积分 由ino(A)中 的逆幂展开系数得到,即 圳= l n l:+1 /^△z2 】_㈤ 对于区间[一 , ]单值矩阵 被定义为 (A)=L(A)…L.( ) = in a( ):∑c , 式中 (1) ㈤ 用量子力学逆散射方法的标准步骤能够证明运动积 分生成函数的r:d+D具有性质 收稿日期:2001—10—12 作者简介:海国延(1953一),男,副教授.研究量子力学理论 

维普资讯 http: 宁夏大学学报(自然科学版) :r( ),r( )]=0. (5) 第23卷 在文献[6]中,算符r( )的谱是在极限△一0, Ⅳ一+*,/iN=L=常数的情况下计算出来的.运动 的局域积分可由r(^)(当 一+ )的逆幂展开系 数得到,即 y? =一等(一1) 。∑(一1) y =l2i(^一1) 。∑(一1) (y 一y , (13) 1) ∑(一1) (y 一y +i 垲). y = 2i(一in(r(^) p(i札)) ∑ ~. 的目的是在极限△一O,L一+*时,用场函数 系数C ,C:,C . 如 (6) 可容易地采用卢和y来表示矩阵t的元,因子exp(i3.L)对应于平面波的正常消失.利用上式 , 表示量子力学的粒子数,量子动量和量子哈密顿 (t) l一 一i :∑ “y p(半)(1一ix: 一 y ),(14) 方程(14)的第二个等式是在 —叼时得到的.类似地 2量子规范变换 下面计算系数C .采用一个规范变换 来变 (三 ) exp( )(1+。( 一 )). (15) 3迹密度 根据(7)式 式 中 换无限小单值矩阵£ ,要求无限小单值矩阵三 是 对角的,即 £ =£,:。£ (7) ( )= ( )T ( )“。( ), p 取2×2矩阵U 为 式,则 =幂正规渐近级数的形 亍 ( )=三 ( )・・・三.( )=【A 西 )】,‘ 6 应用(14)和(15)式,在极限△一0时得到 A( )=exp(一i L)(1+0( )), (^):exp(i ̄L)(1+o( 一 )), 、 “∑ 、. (8) 能够容易地 ~.A 旭 虽然矩阵 是算符,但其逆矩阵 = 由这个级数的正规逆形式得到,因为该矩阵的首项 是单位矩阵.当然,也能够容易地证明Q 是反对 角矩阵,即 ㈤ 于是,在极限 一i*时D( )是一个指数级小量.在 + (16)式中用p和y来表示 ( ),且忽略小项,这对 应于变换L一+*,并注意到边界条件(12)式将导 致J4( )=A( ).当△—叼和L一+*时有 ln(exp(i ̄L)r( )) ln(exp(i )A( )).(18) ∑㈦ n 矩阵三 的对角性条件导致了关于口和y的方程 卢 +卢 = 、, y ¨+y =G ,(10) 由(14)和(16)式可得到exp(认L)j( )的有关^的 逆幂指数表达式 式中 和G 在t<k时可分别采用 和y 以及场量 和z 表示,此处仅给出G。 。 的表达式 G =一竿 , Gln2): (y 一 ), G = (y 一y +i y ). n。=一i∑ y (11) n =一i∑ y n =一i∑ :y y , (20) 对于卢和7可采用固有的边界条件 y ‘=0, =0. (12) 一∑( i y …I Z Y… ̄:2-,+ .y y ) 在解方程(1O)时,这些选择导致了口和y的正规有 序形式,要求7的解为 +i∑ i  Iy , ,. y =(一1)” ∑(一1) G 应用(11)式可得到 取(19)式的对数并利用(18)式,求得(6)式中的前三 项系数 

维普资讯 http: 第1期 CI=aI, c =一 海国廷:量子力学非线性薛定谔方程的迹公式 式中N,P,H分别是粒子数,动量和哈密顿算符,它 , (21) 们由(2)式给出.然而根据“量子修正”理论,(1)式中 的系数 不同于(6)式中的系数 ,c 可采用“最 低级”运动积分展开.本文的结果(22)式与文献[6] 中用运动积分计算的结果一致 c =。,一 +{。 计算中用到了依据(5)式得到的等式 Ⅱtn akal 为TJA(21)式求得利用场量 和 表示的 参考文献: 【I]zak}l ̄DVV E,Shabat A B,Eksp Zh.The diferential methods c ,c ,c ,必须利用(20)和(13)式,并在得到的表达 式中取极限△—加对于有限的△,运动的积分是非局 域的,只有在 一0时才成为局域的.变换△一0使得 描述该模型的量子场必须满足光滑的要求,即为正 规的有序表达式,因此, 的表达式也必须是正规 ininverse scattering[J].TeorPiz,1971,61:118. [2]Zakhatov V E,Fddeer L D The n derivative and an application in inverse scaRefing[J].15ulkstian ̄AⅢ妇 E Pl血Ⅱh口I,19"71,5:18. 有序的.另外,对于变换△一0也可应用公式 【3]Zaldmrov V E,Mikhailov A V,Eksp Zh.Invea ̄e b l value problem and a theory ofGelfand and Le ̄tan[J].Teto Fiz,1978.74:I 953. ∑(一1) 一号[(一1) 一 ] 如果,是一个光滑函数上式显然成立,相应的计算 不存在根本的困难,可求得(6)式中的前三项系数 C1=iKN, 【4 J Wehrhah ̄R F,Melnil∞v Y B Q ̄,,tum HIec}lI1ics invemion for sy ̄mem:scatterlng[J]Math脚s,1993,34(7):2 914. 【5] Chadrul K,saⅫ盯Pc Inveese pI 】l廿璐In 嚏I山ⅢI sg ̄t- t 啤theoo'[Mj.NewYork: 学Ved ,1 121 C2 i (P一2KN), (22] 【6 J Faddeev L D Q崛吼 m c0mpIetdy_mte粤恤le ifeld Oleory models M J.LeningTad:V A Steldov Mathematics Instute, 1979 79 C3=ix(H—ixP一÷ N), Trace formulas for the quantum nonlinear Schr ̄dinger equation 删Guo-ting (Department of Physics&Electrical lrformaifon E neering,Ning:da Urifversity,Yinchum ̄750021,China) Abstract:In the framework of the quantum inverse scattering method,local integrals of the motion are obtained for the nonlinear Schrodinger equation,the ll'ace formulas are obtained for the nonlinear Schr ̄inger equatmn,too. Key words:inverse scattering method;nonlinear Schrg ̄linger equation;IT'd ̄e formulas (责任编辑、校对马健) 启 事 《宁夏大学学报(自然科学版)》已加人《中国学术期刊(光盘版)》和“中国期刊网”.今后,本刊将同时以印 刷版、光盘版和网络版三种载体形式出版.印刷版由本刊编辑部出版;光盘版经中华人民共和国新闻出版署 音像管理司批准,由清华大学出版社出版,本刊被收人光盘版理工A辑,书号为ISBN 7—900611—65—7(A). 光盘版和网络版是期刊的一种新的载体形式.创办光盘版和网络版是一件促进我国学术期刊电子化进 程和国内外学术交流的重要举措,希望得到广大作者的热情支持.凡不同意将自己稿件纳入光盘版和网络版 传送交流的作者,请另投他刊.本刊所付稿酬已包含刊物光盘版和网络版服务报酬 目前本刊期发行量近30(D份,社会影响日益扩大.欢迎校内外专家、学者投稿,欢迎订阅. 宁夏大学学报自然科学版编辑部 2002年3月 

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发布时间:2021-11-23 23:30:23
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  1. 式中的 ’和 是满足对易关系[ ( )

  2.  (^):exp(i ̄L)(1+o( 一 ))

  3. 算符r( )的谱是在极限△一0

  4. 希望得到广大作者的热情支持.凡不同意将自己稿件纳入光盘版和网络版 传送交流的作者

  5. 宁夏银川750021) 摘要:在量子力学逆散射方法的框架里.时非线性薛定谔方程得到了运动的局域积分